Wenn ein Getriebe auf der einen Seite von einem Motor angetrieben wird und auf der anderen Seite blockiert ist, dann wird der Techniker die Augen verdrehen. Die Sinnhaftigkeit des Blockierens scheint widersinnig zu sein. Wenn aber der antreibende Motor trotz des Blockierens noch schnell drehen kann und das Festsetzen des letzten Zahnrades bedeutungslos wird, dann weckt das sein Interesse.  Das Modell  Blick ins Unendliche lehrt nicht nur zu verstehen, sondern auch zu begreifen, wie unvorstellbar manche Sachverhalte sind.

Das Modell  Blick ins Unendliche  ist auch bekannt als Unendlichkeitsmotor. Da aber der Begriff „Unendlichkeit“ für einen Mathematiker ein wahrhaft dehnbarer Begriff ist, und hier mit einem endlichen, mechanischen Ding verbunden ist, gefiel mir der Begriff Unendlichkeitsmotor nicht. Das Modell Blick ins Unendliche zu nennen traf eher meinen Geschmack.

Dieses kleine handflächengroße Getriebe verdeutlicht exponentielle Expansion bzw. Degression auf eindrucksvolle Weise. Hier sind nur 30 Kombinationszahnräder verbaut und das Untersetzungsverhältnis mit 5:1 ist überschaubar. Und dennoch entfernen wir uns rasch aus den realitätsnahen und vorstellbaren Zahl- und Zeitbereichen.

Einen anwendbaren Aspekt hat dieses Getriebe nicht. Aber es lädt ein, seine Gedanken in einem kleinen Teil mathematischen, physikalischen und philosophischen Denkens schweifen zu lassen. Die Berechnungen und Aspekte geben dem Bausatz/Getriebe erst seinen Sinn. Die geistige Beschäftigung damit ist für mich wie ein schönes Lied. Anfangs ist man begeistert, dann wird es beiläufig bekannt und später wirkt es wie ein Oldie, den man gerne mal wieder hört.

(Viele der hier genannten Zahlen beinhalten Ungenauigkeiten; sie sollen nur eine Vorstellung vermitteln. Ein Mathematik Professor lehrte uns den Satz: Je genauer das Ergebnis, umso größer ist das Unverständnis von Mathematik. Hier findet er Anwendung.)

 

Wie schnell dreht sich der Motor, wenn er die Reibungskräfte der Zahnräder überwinden muss?

Das große Zahnrad des Doppelzahnrades 5 dreht sich einmal in ca. 30 Sek.

Die Motordrehzahl wurde bis zur fünften Zahnradkombination bereits 5 mal im Verhältnis 5:1 untersetzt.

  • 30 s = Zeit einer Motorumdrehung · 55      |:55        (55 = 3125)
  • der Motor benötigt also ca. 0,01 Sek für eine Umdrehung (0,0096 s)
  • das sind  60 : 0,0096 = 6250 rpm (Umdrehungen pro Minute)

Die Leerlaufdrehzahl des Motors ist mit max. 12.000 rpm angegeben. Diese Drehzahl bezieht sich aber auf einen belastungsfreien Betrieb. Insofern erscheint die halbe Drehzahl als realistisch, weil der Motor die Reibungskräfte der Zahnräder überwinden muss.

 

Wie lange dauert es, bis sich das letzte Zahnrad einmal gedreht hat?

  • Der Motor benötigt für eine Umdrehung 0,0096 Sek
  • Das erste weiße Zahnrad am Motor muss sich 5 mal drehen, um das zweite Zahnrad einmal zu drehen
  • Das zweite Zahnrad muss sich auch 5 mal drehen bis dessen kleines Doppelzahnrad das große Zahnrad der dritten Zahnradkombination einmal gedreht hat.
  • Dieses Übersetzungsverhältnis 5:1 wiederholt sich vom Motor bis zum letzten Zahnrad 30 mal
  • Das grüne Motorzahnrad müsste sich also 530 mal drehen bis auch das letzte rote Zahnrad eine Umdrehung vollzogen hätte

0,0096 s · 530 = 8.940.696.716.308.593.750 s (8,9… Trillionen Sekunden)

8.940.696.716.308.593.750 s : 60 = 149.011.611.938.476.562 min

149.011.611.938.476.562 min : 60 = 2.483.526.865.641.276 Std

2.483.526.865.641.276 Std : 24 = 103.480.286.068.386 Tage

103.480.286.068.386 Tage : 365 = 283.507.633.064 Jahre

  • In rund 283 Milliarden Jahren würde sich das rote Zahnrad ein einziges Mal gedreht haben
  • Wenn man den Astrologen Glauben schenkt, wird sich unsere Sonne in etwa 4 Milliarden Jahren die Erde einverleibt haben. Bis dahin hätte sich das letzte Zahnrad noch nicht um einen Zahn weiterbewegt.


Im Bereich der großen Zahlen – keineswegs!

Nehmen wir an, wir könnten so schnell zählen, wie sich der Motor dreht – ca. 100 Teilchen (Neutronen, Elektronen, Protonen, etc.)  pro Sekunde.

Könnten wir in der Zeit bis zur ersten Umdrehung des roten Zahlrades (in 283 Milliarden Jahren) die Teilchen zählen, die in 1 cm3 Kohlenstoff enthalten sind?

Überschlagen wir:

  • 1 cm3 Kohlenstoff das Gewicht von ca. 2 Gramm.
  • 1 Mol Kohlenstoff wiegt ca. 12 Gramm
  • Dieser 1 cm3 Kohlenstoff enthält also 1/6 Mol
  • 1 Mol ist per Definition die Anzahl von 6,02214076 1023 Teilchen, (ca. 602 Trilliarden)
  • In dem 1 cm3 Kohlenstoff sind also ( 1/6 von 602 Trilliarden) ca. 100 Trilliarden Teilchen
  • Bei einer Zählgeschwindigkeit von 100 Teilchen pro Sekunde brauchen wir 1 Trilliarde Sekunden, um die Teilchen des einen cm3 Kohlenstoffes zu ermitteln.
  • 1.000.000.000.000.000.000.000 sec : 8.940.696.716.308.593.750 sec = …

(Zähldauer der Teilchen von 1 cm3 Kohlenstoff) : (Umlaufdauer des roten Zahnrades)

  • Letztlich vergingen über 100 Umdrehungen (1 Trilliarde : rund 8,9 Trillionen) des letzten Zahlrades, bis wir die Teilchen von 1 cm3 Kohlenstoff gezählt hätten.

Ebenso erstaunlich ist ein weiterer Aspekt. Die Teilchen in dem Kohlenstoff liegen nicht eng beieinander. Vielmehr nimmt der Atomkern nur 1/20.000 bis 1/150.000 des Durchmessers einer Atomhülle ein. Zwischen Atomkern und den Elektronenbahnen ist nichts, also eine relativ große Leere. Lägen die Atomkerne eng aneinander, dann wäre 1 cm3 dieser Masse um die 100 Millionen Tonnen schwer.

 

Zeit bis zur Selbstzerstörung

  • Das letzte Zahnrad ist fixiert. Nehmen wir an, dass ein Zahn bricht, wenn sich das Zahnrad um 0,10 verwindet
  • 3600 entsprechen einer kompletten Drehung
  • Die Laufzeit des letzten Zahnrades muss man also durch 3600 für 0,10 teilen, bis sich der Bruch ereignet
  • 507.633.064 Jahre : 3600 = 78.752.120 Jahre

Wenn eine Maschine heil bleiben soll, dann müsste man sich ein Memo eintragen, das lauten könnte:

Maschine spätestens in 78 Millionen Jahren abstellen.


In welcher Zeit würde ein nicht festgeschraubtes rotes Zahnrad schnellstens eine Umdrehung zurückgelegt haben können?

Auch wenn das nur eine hypothetische Betrachtung ist, so nehmen wir an, dass sich die Zähne des grünen Motorritzels mit Lichtgeschwindigkeit bewegen könnten.

  • Die Lichtgeschwindigkeit beträgt etwa 300.000 km/sec
  • Das grüne Motorritzel hat einen Durchmesser von 7 mm
  • Der Umfang ist demnach 7 mm π = ca. 22 mm
  • 22mm = 2,2cm =  0,22dm = 0,022m = 0,000022 km (= Distanz der zurückgelegten Strecke der äußeren Teile des grünen Motorritzels bei einer Umdrehung)
  • 300.000 km/sec : 0,000022 km/U = 13.636.363.636 U/sec. (Drehgeschwindigkeit des grünen Zahnrades bei Lichtgeschwindigkeit)
  • 13.636.363.636 : 530 = 0.00000000001464193396325 (Teil einer Umdrehung pro Sekunde des roten Zahnrades bei Lichtgeschwindigkeit des grünen Motorritzels)
  • 1 U: 0.00000000001464193396325 U/sec = 296.988.806 sec.
  • 296.988.806 sec = 1.138.283.146 min
  • 138.283.146 min = 18.971.385 Std
  • 971.385 Std = 790.474 Tage
  • 790.474 Tage = 2.165 Jahre

Selbst bei Rotations-Lichtgeschwindigkeit des grünen Motorzahnrades könnte sich das rote Zahnrad frühestens in 2165 Jahren einmal gedreht haben.

 

Die Dinge einmal anders zu sehen erhellt…

 Ein Astronom, ein Biologe und ein Mathematiker sind befreundet und fahren mit dem Zug nach Schottland zum Wandern. Als sie gerade die Grenze überfahren, sehen sie auf einer Wiese ein schwarzes Schaf.

„Oh,“ sagt der Astronom „in Schottland sind die Schafe auf den Wiesen schwarz.“

„Nein, nein,“ entgegnet der Biologe „auch in Schottland sind nur einzelne Schafe schwarz.“

Der Mathematiker stöhnt leise und entgegnet den Freunden: „In Schottland gibt es mindestens eine Wiese und mindestens ein Schaf, das von mindestens einer Seite schwarz ist.“

 

Berechnung der Umlaufzeiten der einzelnen Doppelzahnräder (stellenweise gerundet und somit innerhalb der Überschlagsrechnung stellenweise mit geringen Folgefehlern behaftet. Der Wert des 30. Zahnrades steckt jedoch den theoretischen Rahmen folgerichtig ab)

Zahnrad Umlaufdauer
Motor 0,0096 s
1 0,048 s
2 0,24 s
3 1,2 s
4 6 s
5 30 s
6 2 min 30 s
7 12  min 50 s
8 1 Std 3 min
9 5 Std 15 min
10 1 Tag  6 Std 30 min
11 8 Tage
12 40 Tage
13 200 Tage
14 2 Jahre
15 9 Jahre
16 46 Jahre
17 232 Jahre
18 1.161 Jahre
19 5.806 Jahre
20 29.031 Jahre
21 145.156 Jahre
22 725.780 Jahre
23 3.628.898 Jahre
24 18.144.489 Jahre
25 90.722.443 Jahre
26 453.612.213 Jahre
27 2.268.061.065 Jahre
28 11.340.305.323 Jahre
29 56.701.526.613 Jahre
30 283.507.633.064 Jahre
Kontakt

manfredklose@t-online.de / Franz-Rinscheid-Str. 50, 57439 Attendorn, Germany / Tel: +49 2722 730006